Semillas en espirales

Uno de los ejemplos más populares en matemática divulgativa es el crecimiento en espiral de algunos elementos en la naturaleza. Las semillas de girasol son tal vez el caso más común. Se nos dice que la espiral de alguna manera está relacionada con la razón dorada y la sucesión de Fibonacci.

Por supuesto hay muchos otros ejemplo de plantas y hojas que crecen en un patrón similar. Pero, ¿por qué?.

Este post no tiene la respuesta, pero muestra un «juguete» que nos permite analizar otros posibles patrones de crecimiento.

La mecánica es sencilla. Supongamos que una planta decide desarrollar sus hojas, pétalos, o semillas en un patrón concéntrico. Pasa algunos millones de años decidiendo cuál es la mejor forma de hacerlo. Una podría ser, por ejemplo, «poner» una semilla cada giro. Muy ineficiente, todas las semillas terminarían apiladas en el mismo lado.

Otro podría ser dos semillas por giro (prueba esto en el applet escribiendo 2 y da click al botón submit). Parece un poco mejor, pero de nuevo se encuentra uno con mucho espacio «desperdiciado». En general cualquier entero tendrá el mismo problema. Por ejemplo, 7, hará que nuestra flor tenga un patrón de semillas similar a una estrella de 7 picos.

Presiona el botón > para correr/pausar la animación y << para cambiar la orientación.

Probemos entonces con números no enteros, por ejemplo 1.05. Los patrones se vuelven más interesantes. ¿Y si probamos con números irracionales?. El applet incluye botones para que pruebes rápidamente \(\pi\ \sqrt{2}\ \varphi\). En el campo de texto puedes probar cualquier otro valor que desees entre 1 y 9.

De todas las posibilidades, usar la razón dorada \(\varphi\), parece ser la mejor opción. El patrón ofrece la forma más eficiente de usar el espacio disponible.

Recursos adicionales

Este pequeño applet fue inspirado por el siguiente video del canal de youtube numberphile.

El applet fue desarrollado en javascript usando la librería de animaciones p5.js. El código fuente se puede encontrar en gitlab en la subcarpeta seeds.